Sprunghöhe auf dem Mond

Am Abend nach einer Dienstreise habe ich mit einem Kollegen noch in einem netten bayrischen Restaurant in München gesessen. Dort haben wir darüber diskutiert, wie hoch eigentlich ein Mensch auf dem Mond springt. Eine weit verbreitete Argumentation von Vertretern der Hypothese eines Mondlandungs-Fakes ist, daß Astronauten 6 mal höher springen müßten, da ja nun auch die Schwerkraft des Mondes 6 mal kleiner ist als die der Erde. Das klingt zunächst einmal sehr plausibel. Tatsächlich springen die Astronauten, die man auf Videoaufzeichnungen der Mondoberfläche sieht, bei weitem nicht so hoch, sondern lediglich etwa 60cm. Die Mondlandungs-Gegner behaupten nun, diese Aufzeichnungen seien mit leichteren Raumanzug-Attrapen in einem Studio gedreht worden. Aber probieren Sie mal, 60cm hoch zu springen! Geübte Tänzer schaffen ohne hinderlichen Raumanzug (auch wenn es eine leichtere Attrape ist) und mit "Anlauf" etwa 50cm. Ich selbst nur 25cm. Allein damit wäre die Studio-Behauptung schon weitestgehend wiederlegt, man hätte die gefilmten Astronauten mit Hilfe von Flaschenzügen anheben müssen. Die folgende Betrachtung zeigt aber auch, daß die Überlegung mit der Sprunghöhe noch etwas komplizierter ist.

Den Sprungvorgang wollen wir wie folgt idealisieren: Ein Mensch geht in die Kniebeuge. Hierdurch verringert sich die Höhe des Schwerpunkts des Menschen um die Strecke \(b\). Anschließend richtet sich der Mensch schnell wieder auf, wodurch sich die Höhe des Schwerpunkt um die Strecke \(b\) erhöht. Während des Aufrichtens wirkt die Sprungkraft \(F\) nach oben und damit entgegengesetzt der Schwerkraft

\(G=mg\), (Gl. 1)

wobei \(m\) die Masse des Menschen und \(g\) die Schwerebeschleunigung ist. Wenn der Mensch vollständig gestreckt ist, lösen sich die Füße vom Boden. Dann findet keine weitere Beschleunigung mehr statt, da sich der Mensch ja nun nicht mehr gegen den Boden abstützen kann. Im Moment des Ablösens der Füße besitzt der Mensch eine bestimmte kinetische Energie (Bewegungsenergie) aufgrund der Beschleunigung:

\(E_{kin}=(F-mg)b.\) (Gl. 2)

Nach Ablösen der Füße wird diese kinetische Energie in potentielle Enerergie ("Lageenergie") umgewandelt, da der nun frei fliegende Mensch gegen die Schwerkraft anarbeiten muß. Im höchsten Punkt des Sprungs, dessen Höhe über Grund \(h\) betragen soll, ist die kinetische Energie komplett in potentielle Energie umgewandelt:

\(E_{pot}=mgh.\) (Gl. 3)

Durch Gleichsetzen beider Energieterme aus Gl. 2 und 3 läßt sich einerseits die Sprunghöhe \(h\) bestimmen:

\(h=\frac{F-mg}{mg}b.\) (Gl. 4)

Andererseits läßt sich die Gleichung auch nach der Sprungkraft \(F\) auflösen:

\(F=mg\left(1+\frac{h}{b}\right).\) (Gl. 5)

Damit das Problem sinnvoll lösbar ist, wollen wir folgende Annahme machen: Unabhängig davon, ob sich der Mensch auf dem Mond oder der Erde befindet oder ob er einen Raumanzug an hat oder eben nicht, soll die Sprungkraft \(F\) stets den gleichen Wert haben, der Mensch also stets die gleiche Sprungkraft aufbringen kann. Die Größe \(b\) ("Knietiefe" oder "Beugetiefe") beträgt bei einem erwachsenen Mensch etwa 50cm. Ein geübter Tänzer oder Sportler schafft es auf eine Sprunghöhe \(h\), die etwa der "Beugetiefe" \(b\) entspricht. Ich selbst schaffe gerade mal 25cm Sprunghöhe! Die Astronauten sind ja nun sehr sportlich, deshalb nehmen wir mal an, die können auf der Erde ohne Raumanzug 50cm hoch springen. Wenn wir weiterhin \(g=g_E=9.81\mbox{m/s}\) und für das Körpergewicht 75kg annehmen, dann können wir die entsprechende Sprungkraft durch Einsetzen der Zahlenwerte in Gl. 5 berechnen:

\(F=2\cdot 75\mbox{kg}\cdot 9.81\mbox{m/s}\approx 1472\mbox{N}.\) (Gl. 6)

Ein Raumanzug wiegt etwa 80kg und schränkt die Bewegungsfreiheit stark ein. Mit solch einem Raumanzug sind auf der Erde gar keine Sprünge möglich. Wenn wir annehmen, daß ein Mensch mit den Beinen nicht mehr als die oben berechneten rund 1472N aufbringen kann. Wenn man die Gewichtskraft der 75kg Körpergewicht plus 80kg Raumanzug ausrechnet, kommt man auf einen Wert von rund 1520N. Diese Kraft ist größer als die Sprungkraft, und damit bleibt der Astronaut mit Raumanzug auf der Erde stets am Boden (wenn man trotzdem mal die Zahlenwerte in Gl. 4 einsetzt, erhält man ein negatives Ergebnis für \(h\) - das ist natürlich physikalischer Unsinn). Weiterhin wird die Beugetiefe \(b\) nicht mehr 50cm sein, weil der Astronaut mit seinem Raumanzug nicht mehr so stark in die Knie gehen kann. Wir wollen annehmen, daß mit dem Raumanzug \(b=20\mbox{cm}\) beträgt. Zwar wird auf dem Mond kein Mensch ohne Raumanzug auch nur hinreichend lange überleben, um dort einen Hüpfsprung zu machen, trotzdem wollen wir zunächst berechnen, um wieviel höher ein Mensch auf dem Mond ohne Raumanzug springt. Hierzu nehmen wir Gl. 4 her und indizieren die jeweiligen Größen entweder mit E für Erde oder L für Mond. Dann erhalten wir:

\(\frac{h_L}{h_E}=\frac{g_E}{g_L}\cdot\frac{F-mg_L}{F-mg_E}.\) (Gl. 7)

Jetzt setzen wir noch die Zahlenwerte ein und erhalten:

\(\frac{h_L}{h_E}=\frac{9.81\mbox{m/s}}{1.62\mbox{m/s}}\cdot\frac{1472\mbox{N}-75\mbox{kg}\cdot 1.62\mbox{m/s}}{1472\mbox{N}-75\mbox{kg}\cdot 9.81\mbox{m/s}}\approx11.\) (Gl. 8)

Ein Mensch auf dem Mond würde also 11 mal höher oder 5.5m anstelle von lediglich 50cm springen! Das ist aber ein sehr unrealistisches Szenario. Interessant ist jedenfalls, daß die Sprunghöhe nicht einfach vom Verhältnis der Schwerebeschleunigungen auf Erde und Mond abhängt, sonst würde der Mensch lediglich etwa 6 mal höher springen.

Jetzt wollen wir die Sprunghöhen eines Astronauten mit Raumanzug auf dem Mond und eines Menschen ohne Raumanzug auf der Erde vergleichen. Die Masse eines Astronauten mit Raumanzug bezeichnen wir im Folgenden mit \(M\). Wir berücksichtigen nun auch, daß die Beugetiefe mit und ohne Raumanzug unterschiedlich ist:

\(\frac{h_L}{h_E}=\frac{g_E}{g_L}\cdot\frac{b_L}{b_E}\cdot\frac{F-Mg_L}{F-mg_E}.\) (Gl. 9)

Wenn wir nun wieder Zahlenwerte einsetzen, erhalten wir ein Ergebnis von ungefähr 4. Der Astronaut in seinem Raumanzug springt also auf dem Mond mit 2m 4 mal höher als ein Mensch ohne Raumanzug auf der Erde. Wie wir ja bereits gesehen haben, würde ein Mensch auf der Erde selbst bei größt-möglichster Kraftanstrenung mit dem Raumanzug garnicht springen können. Tatsächlich aber springen die Astronauten auf dem Mond nicht nicht 2m hoch. Aus Aufnahmen, die den Astronauten Young von Apollo 16 zeigen, springt dieser nur etwa 60cm hoch. Dies ist sicherlich damit zu erklären, daß Young eben nicht mit äußerster Kraft abgesprungen ist. Immerhin könnte ja vielleicht ein unsanfter Sturz den Raumanzug beschädigen und das Leben des Astronauten ernsthaft gefährden.

Eine sehr schöne Seite zum Thema Mondlandungslüge findet Ihr hier .